壁を押すと、壁から手が押し返されます。それなのに、壁はほとんど動かず、押した人の方がよろけることがあります。力が同じなら、なぜ動き方は違うのでしょうか。
作用反作用を理解する鍵は、二つの力が別々の物体に働くという点です。力の大きさが等しくても、各物体の質量や、ほかに受ける力は異なります。
まず力を「誰から誰へ」と書き分け、机の上の本、歩く足、ロケットを考えましょう。後半では、加速度と運動量の計算を通じて、力の一対と力のつり合いを区別します。
作用反作用は、一つの相互作用を二方向から見たもの
作用の後に反作用が返る、という順番ではない
ニュートンの第三法則は、AがBに力を及ぼすとき、BもAに同じ大きさで逆向きの力を及ぼすという関係です。ここでは日常の接触や、ニュートン力学で扱う重力を考えます。
| 記号／Symbol | 意味／Meaning | 単位・条件／Unit, condition |
|---|---|---|
| \(\boldsymbol F_{A\to B}\) | AがBに及ぼす力／Force on B by A | N、Bに働く |
| \(\boldsymbol F_{B\to A}\) | BがAに及ぼす力／Force on A by B | N、Aに働く |
| 太字・負号 | ベクトルと逆向き／Vector, opposite direction | 大きさだけでなく向きを表す |
例えば手で壁を押している間、壁も手を押しています。「まず作用だけが生じ、少し後から反作用が返る」という意味ではありません。また、どちらを作用と呼ぶかに特別な優劣もありません。
動くかどうかは、一つの物体の合力で決まる
第三法則が比べるのは、二物体が互いに及ぼす力です。一方、一つの物体の加速度を求めるときは、その物体に働く力をすべて足し、第二法則を使います。
| 記号／Symbol | 意味／Meaning | 単位・条件／Unit, condition |
|---|---|---|
| \(\sum\boldsymbol F_{\mathrm{on\ A}}\) | Aに働く合力／Net force on A | N、Aに働く力だけを足す |
| \(m_A,\boldsymbol a_A\) | 質量と加速度／Mass and acceleration | kg、m/s²、質量一定 |
力の単位である1 Nは、質量1 kgの物体に1 m/s²の加速度を生む合力に相当します。力の大きさと、物体の動きの変化を結ぶのは第二法則です。一方、第三法則の二力は働く先が違うため、一つの物体の運動方程式へ一緒に入れて相殺することはできません。
壁には手からの力に加え、建物の構造から支える力が働きます。人の体にも、壁からの力と地面からの力が働きます。相手が動かないことだけを見て、反作用が弱いと判断することはできません。
机の上の本で、つり合いと一対の力を見分ける
本に働く二つの力は、作用反作用ではない
静止した本には、地球が下向きに引く重力と、机が上向きに押す垂直抗力が働きます。上下の加速度がゼロなら、この二つの力はつり合っています。しかし、両方とも同じ本に働くため、作用反作用の一対ではありません。
重力の相手は、本が地球を引く力です。垂直抗力の相手は、本が机を押す力です。逆向きで同じ大きさという条件だけでなく、同じ相互作用か、別々の物体に働くかも確かめます。
加速するエレベーターでは、つり合いが崩れても一対は保たれる
エレベーターが上向きに加速すると、人が床から受ける垂直抗力は重力より大きくなります。そのため、この二力はつり合いません。それでも、人が床を押す力と、床が人を押す力の一対は等しいままです。
体重計の数字が変わるのは、床から体へ働く力が変わるためです。地球との重力の一対と、床との接触力の一対を分けると、「力が等しいのに加速する」という疑問が解けます。
同じ100 Nでも、加速度は2倍違う
質量が異なる二人で計算する
摩擦を無視できる水平面で、質量50 kgのAと100 kgのBが互いを100 Nで押す瞬間を考えます。水平の外力は無視します。各物体の水平力を、それぞれの質量で割ると加速度が求まります。
力の大きさが同じでも、軽いAの加速度はBの2倍です。向きは逆になります。なお、これは押している瞬間の計算であり、最終的な速さや距離を求めるには、力が働く時間などの情報も必要です。
二人を一つの系にすると、内力が相殺される
AとBをまとめた系では、互いを押す力は内力です。二つの運動方程式を足すと、この内力は相殺され、全運動量の変化には外力の合計が残ります。
| 記号／Symbol | 意味／Meaning | 単位・条件／Unit, condition |
|---|---|---|
| \(\boldsymbol p_A,\boldsymbol p_B\) | 各物体の運動量／Momentum | kg m/s、質量一定ならmv |
| \(\boldsymbol F_{\mathrm{ext}},t\) | 系の外力、時間／External force, time | N、s |
外力の合計がゼロなら、全運動量は一定です。最初に二人とも静止していた場合、一人が得た運動量と、もう一人が得た逆向きの運動量が対応します。ただし、Aだけを系にした式では、Bからの力を消してはいけません。
歩く足や車は、地面から何を受ける？
足が後ろへ押し、地面が体を前へ押す
歩行の蹴り出しでは、足が地面を後方へ押し、地面が靴へ前向きの摩擦力を及ぼします。接地面が滑っていなくても、静止摩擦力は働きます。「摩擦は必ず動きを妨げる」と覚えるだけでは説明できません。
氷では十分な摩擦力を得にくく、砂では地面が動いたり足が沈んだりします。しかし、作用反作用が消えたわけではありません。相手の変形と力の伝わり方が変わっています。
ペダルを回すだけでは、自転車全体の加速は決まらない
足がペダルを押す力は、車体内部で動力を伝えます。しかし、自転車と乗員をまとめた系の前向きの加速には、外側との力のやり取りが必要です。通常の発進では、駆動輪が路面を後方へ押し、路面が駆動輪を前方へ押します。
自動車も、エンジン内部の燃焼だけで車全体が前へ加速するわけではありません。車輪へ動力を伝え、路面から外力を受けます。タイヤが空転すると進みにくいのは、この接触が十分に働かないためです。
水泳やボートでは、水が相手です。手やオールで水へ運動量を与え、水から体や船へ力を受けます。サッカーボールを蹴る場合も、足がボールへ及ぼす力と、ボールが足へ及ぼす力を分けます。動作が違っても、整理の手順は共通です。
ロケットは、真空でもなぜ進めるのか
押す相手は、周囲の空気ではない
ロケットは排出するガスへ後方の運動量を与え、その過程で本体が前向きの力を受けます。周囲の空気を押す必要がないため、真空でも推進できます。本体だけを系にするか、噴射後のガスまで含めるかで、式の立て方が変わります。
単位時間に排出する質量と、本体に対する排気速度から推力の目安を求められます。圧力差の寄与を省いた近似では、次の形になります。
| 記号／Symbol | 意味／Meaning | 単位・条件／Unit, condition |
|---|---|---|
| \(\dot m\) | 正の値で表す排出質量流量／Mass flow rate | kg/s |
| \(v_e,F_{\mathrm{thrust}}\) | 排気速度の大きさ、推力／Exhaust speed, thrust | m/s、N、圧力項を省く |
毎秒2 kgのガスを本体に対して2,000 m/sで排出するなら、目安の推力は4,000 Nです。単位はkg m/s²で、Nに一致します。実際のノズルでは圧力差も寄与し、本体の質量は燃料消費で変わります。
衛星の軌道調整や、地球と月にも力の相手がある
人工衛星のスラスターも、ガスを排出して運動量を変えます。また、地球が月を引く重力と、月が地球を引く重力は等しく逆向きです。質量の違いが加速度の違いにつながり、両者は共通の重心の周りを運動します。
ロボットが物を持ち上げるときは、物体がロボットを押す力も、関節や土台の設計に入れます。一方、関節へどれだけの仕事や動力が必要かは、力だけでは決まりません。移動や速さなども調べる必要があります。
等しい力だけから、エネルギー保存は導けない
仕事には、力を受ける点の移動も必要
作用反作用が等しいことから、「二つの仕事が必ず相殺する」「運動エネルギーが保存する」とは結論できません。仕事には力だけでなく、その力を受ける点の移動も関わります。
例えば、粘土同士がぶつかってくっつく場合も、接触中の作用反作用は成り立ちます。それでも運動エネルギーの一部は変形や熱などへ移ります。全エネルギーの保存と、運動エネルギーだけの保存は区別しましょう。
ばねで二台の台車を押し離す場合も、運動量保存だけでは速さの大きさを決められません。ばねのエネルギーや損失の条件が必要です。運動量とエネルギーは、役割の異なる条件として使います。
電磁場が運動量を運ぶ場合
電磁気では、場そのものが運動量を持ちます。離れた二粒子だけを取り出し、いつでも同時刻に等しく逆向きの力が働くと考えると不十分になる場合があります。そのときは粒子と電磁場を含めた全体の運動量を追います。
まとめ
作用反作用は、同じ相互作用から生じ、別々の物体に働く二つの力の関係です。一つの物体の力のつり合いとは違い、加速度はその物体の合力と質量で決まります。「誰から誰へ」を書き、系の範囲を決める手順で、歩行からロケットまで整理できます。
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サムネイルと本文画像はすべて新しく用意したAI生成イメージです。数式と数値例は原理を説明するためのもので、画像から得た測定値ではありません。
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