虹はなぜ丸い？二重虹の色と「42度」を水滴の光学で解説

雨が上がり、雲の切れ間から日が差す。遠くの山に虹が架かっていたら、まず眺めるのは色や大きさでしょう。けれど、少し気を付けて見ると、その姿には決まった特徴があります。太陽は自分の後ろにあり、虹の外側は赤い。もう一本見えるときは、そちらの色の順番が逆になっています。

どれも、水滴の中を通る光の道筋から説明できます。一粒の雨粒に入った光を追い掛けると、虹が丸い理由も、その端まで歩いて行けない理由も、同じ仕組みにつながっていきます。

虹が見えたら、太陽の位置を確かめてみる

普通の雨の虹が見えるとき、太陽は背中側にあります。目の前には雨や霧があり、その水滴に日が当たっています。自分の頭の影が落ちる方向は、虹の円の中心へ向かう方向でもあります。この、太陽と正反対の方向を反太陽点といいます。

主虹の赤い外縁は、反太陽点から約42度離れたところに見えます。42度は虹の高さを一律に表す数字ではなく、目を頂点にして測る角度です。中心となる方向が上下すれば、虹の位置も変わります。

例えば、太陽が地平線から10度の高さにあれば、反太陽点は反対側の地平線の10度下です。半径42度の円をそこに描くと、いちばん上は地平線から約32度の高さになります。太陽が低いほど虹は高く、大きな弧に見えるわけです。

雨が降っていても、厚い雲に太陽を隠されていれば虹は見つかりません。一方、自分のいる場所で雨がやんでいても、前方の雨に日が差していれば見えることがあります。虹を探すときには、雨だけでなく、日差しがどちらから来ているかにも目を向けてみてください。

一粒の水滴で、光はどう曲がるのか

二度の屈折と、一度の内部反射

主虹を作る光は、水滴へ入るときに曲がり、内側で一度反射し、外へ出るときにもう一度曲がります。空気と水の境界で進む方向が変わる現象が屈折です。水面に差し込んだ棒が折れて見えるときにも、屈折が関わっています。

境界へ来た光は、一部が反射し、残りが通り抜けます。水滴の中で反射した光のうち、再び外へ出て目に届いたものが、虹として見えます。水滴を小さな鏡とだけ考えると、入るときと出るときの二度の屈折を見落としてしまいます。

窓ガラスを通して外の景色を見ていても、角度によって室内のものが映り込むことがあります。透明な境界でも、光のすべてが通り抜けるわけではありません。水滴の奥でも同じように一部の光が折り返します。主虹の代表的な経路で起きる反射は、光をすべて閉じ込める全反射とは異なります。

どの光も同じ方向へ出るわけではありません。水滴の中心近くへ当たる光と、縁に近い所へ当たる光では、表面へ入る角度が違います。その違いによって、水滴の中の経路も、出ていく方向も変わります。

水が白い光を色ごとに分ける

太陽光には、さまざまな波長の光が含まれています。水の屈折率は波長によって少しずつ異なり、可視光では、紫の光の方が赤い光より強く曲がります。この性質を分散と呼びます。一本の白い光が水滴を通ると、色ごとの進行方向にわずかな差がつくのです。

そのため、一粒の水滴から出た赤い光と紫の光が、同じ目へそろって届くわけではありません。ある方向の滴からは赤い光が、少し内側の方向の滴からは紫の光が届きます。たくさんの水滴からの光を一緒に見ると、空に広い色の帯が現れます。

虹の色は、赤から紫まで連続しています。「七色」という呼び方で数えた境目に、水の性質が急に変わるわけではありません。写真で色の境界がはっきり見える場合も、実際には多くの波長が少しずつ重なっています。

なぜ、約42度の方向が明るくなる？

光が水滴からさまざまな方向へ出るなら、空一面が同じように光ってもよさそうです。虹の帯ができるのは、入る位置の違う光が、近い方向へまとまって出やすい角度があるためです。

球形の水滴で計算すると、主虹を作る光の偏向角には最小値があります。偏向角とは、入る前の光の進行方向と、出た後の進行方向とのずれのことです。この最小値の付近では、入射位置を少し変えても、出る方向があまり変わりません。そこに光が集まり、明るい縁が生まれます。

水滴の中の角度を、式で確かめる

ここからは、色ごとの違いをいったん置き、水の屈折率を4/3に固定して計算してみます。水滴へ入る角度をi、水滴内での屈折角をrとすると、スネルの法則から次の関係が成り立ちます。どちらの角度も、境界面に垂直な線、つまり法線から測ります。

屈折と反射で変わった角度を足し合わせる

次に、水滴へ入るところ、内部で反射するところ、出るところでの方向の変化を足し合わせます。一度の内部反射を経る経路では、偏向角Dは次のようになります。

水滴へ入るときの方向の変化はi−rです。内側での反射による変化は180度−2r、出るときは再びi−rとなります。三つを足すと、iは二つ分、rは四つ分になることが分かります。

iを変え、そのたびにスネルの法則でrを求めてDを計算すると、グラフの底に当たるのはiが約59.39度のときです。そのときrは約40.20度、Dは約137.97度になります。反太陽点から見た角度Rは、その補角です。

計算に出てくるのは角度と屈折率で、水滴の半径は入っていません。球形の滴を光線で扱う範囲では、滴を大きくしても虹の角半径が比例して大きくなることはないのです。ただし、実際の滴の大きさや形は、色の帯の細かさや明るさに影響します。

42度の方向を一周すると、円になる

反太陽点から42度離れた方向は、右にも左にも、上にも下にもあります。その条件を満たす方向を一周つなげると円になります。水滴がアーチ状に並んでいるのではなく、目に届く光の角度の条件が、空から円を選び出しているわけです。

地上では、円の下半分を地面に遮られることが多いため、虹は弧に見えます。高い場所から、下方の水滴まで見渡せると、円に近い虹が見えることがあります。見える範囲は、水滴のある場所と観察する高さにもよります。

太陽が高くなると反太陽点は下がり、虹も地平線へ近づきます。平らな地面から前方の雨を見る場合、太陽高度が主虹の角半径より高くなると、その円は地平線の下へ隠れます。噴水の水しぶきや、山の上から谷を見下ろす場合には、地平線より下の光も目に入るため、見える条件が変わります。

虹の端へ歩いて行けない理由

虹の足元が、遠くの木のそばに見えることがあります。でも、その木へ向かって歩いても、虹の端に着くことはできません。自分が移動するたびに、目へ適した角度で光を送る水滴が入れ替わるからです。

隣にいる人と同じ虹を眺めていても、二人の目へ光を送っている滴の組み合わせは、厳密には同じではありません。虹の位置は、太陽や雨だけでなく、見る人の目を含めて決まります。空に一つの物体が置かれていると考えるより、光が届く位置関係として捉えると、その動きが理解できます。

二重虹では、なぜ外側の色が逆になるのか

主虹の外側に、もう一本の薄い帯が見えることがあります。外側の副虹を作る光は、水滴の中で二回反射してから出てきます。反射が一回増えることで経路が変わり、反太陽点からおよそ50〜54度の方向に、別の明るい帯ができます。

色の並びも変わります。主虹は外側が赤く、内側が紫ですが、副虹では内側が赤く、外側が紫になります。主虹が雲へ映ってもう一本になったのではなく、水滴内の違う経路を通った光を見ているのです。

内部で反射するたびに、光の一部は外へ抜けます。さらに副虹は広い角度に光が分かれるため、一般に主虹より淡く見えます。暗い雲を背景にしていると、薄い副虹も見つけやすくなります。

主虹の内側に、さらに細い色の縞が見えることもあります。こちらは副虹とは違い、過剰虹と呼ばれる模様です。細かな縞を説明するときには、水滴内の光を線として追うだけでなく、波どうしの干渉も考える必要があります。同じ空の虹にも、光線の道筋だけでよく説明できる部分と、波として見た方が分かる部分があるのです。

まとめ

虹を見つけたら、太陽の位置、赤い縁、もう一本の帯の有無を眺めてみてください。一粒の水滴で起きる屈折と内部反射が、空に見える形や色の順番につながっています。

約42度は、見る人の目から反太陽点を基準に測る角度です。その条件が円を作り、自分が動くと、光を送る水滴も入れ替わります。いつもの雨上がりの景色に、目には見えない小さな光の経路を重ねると、虹の姿が少し違って見えてきます。

出典・関連記事

• 米国国立気象局：How Do Rainbows Form? — 主虹・副虹の光路と観察の条件。
• Roland Stull：Practical Meteorology、第22章 Atmospheric Optics — 水滴の光学、虹の角度、過剰虹。
• シャボン玉やCDの色を作る、構造色の仕組み

本文の図は、球形の水滴などの条件を置いてXyphaが作成した計算図・模式図です。サムネイルは二重虹を表したAI生成イメージで、観測写真ではありません。