数字の先頭は1が多い？
数字がランダムに並ぶなら、最初の桁が1から9になる割合は、それぞれ約11.1％のはず。そう考えるのは自然です。しかし、河川の長さ、人口、企業の売上など、さまざまな実測値を集めると、先頭が1の数字が約30％を占めることがあります。この一見奇妙な偏りを表すのが「ベンフォードの法則」です。重要なのは、すべてのデータに当てはまる万能法則ではないという点。どんな条件で現れ、どんな場面で使えないのかまで見ていきましょう。
ベンフォードの法則とは
正の数を十進表記したとき、最初に現れる0以外の数字を「先頭有効数字」と呼びます。例えば0.00472の先頭有効数字は4、3810なら3です。ベンフォードの法則では、先頭有効数字がdになる確率を次のように表します。
$$P(D=d)=\log_{10}\left(1+\frac{1}{d}\right),\quad d=1,2,\ldots,9$$
対数を使った式なので、数字が大きいほど確率が下がります。1は約30.1％、2は約17.6％、9は約4.6％です。
実際の割合を表で確認
| 先頭数字 | 理論上の割合 |
|---|---|
| 1 | 30.10% |
| 2 | 17.61% |
| 3 | 12.49% |
| 4 | 9.69% |
| 5 | 7.92% |
| 6 | 6.69% |
| 7 | 5.80% |
| 8 | 5.12% |
| 9 | 4.58% |
なぜ1が多くなるのか
たとえば値が1から10へ、さらに10から100へと倍率で増える現象を考えます。1から2までの範囲と、9から10までの範囲はどちらも幅1ですが、対数目盛りでは同じ長さではありません。先頭数字が1になる範囲は1〜2、10〜20、100〜200のように各桁で現れます。倍率として見ると、1から2への変化は2倍ですが、9から10への変化は約1.11倍。対数目盛り上で前者の区間が長いため、対数が広く均等に分布するデータでは1から始まる値が多くなります。
数式で導いてみる
正の数xを、10の整数乗と1以上10未満の数mを使ってx=m×10^kと表します。mは仮数部に相当し、先頭数字はmの整数部分で決まります。log10(x)の小数部分が0から1の間で一様に分布すると仮定すると、先頭数字がdである条件は、log10(d)以上、log10(d+1)未満です。したがって確率は区間の長さとなり、
$$P(D=d)=\log_{10}(d+1)-\log_{10}(d)$$
$$=\log_{10}\left(\frac{d+1}{d}\right)$$
が得られます。この導出で大切なのは「対数の小数部分が一様」という仮定です。どんなデータでも無条件に成立するわけではありません。
身近な例：1日1％増える量
仮にある量が毎日1％ずつ増えるとすると、n日後の値は
$$x_n=x_0(1.01)^n$$
です。常用対数を取れば、$$\log_{10}x_n=\log_{10}x_0+n\log_{10}(1.01)$$
となります。対数空間では一定の幅ずつ進むため、長期間の観測で小数部分が広く巡る場合、先頭数字の分布がベンフォードの法則に近づきます。ただし、観測期間が短い場合や、数値が狭い範囲に集中する場合には近づかないことがあります。どんなデータに向いている？
複数の桁にまたがり、自然な増減や異なる規模の値が混ざるデータでは、ベンフォード型の分布が見られることがあります。例として、さまざまな地域の人口、地理的な面積、経済指標、物理量などが研究対象になります。ただし、単に桁数が広いだけで必ず成立するわけではありません。標本の集め方、測定単位、下限や上限、数値を生成する仕組みも影響します。
当てはまらない例も重要
電話番号、郵便番号、学籍番号などは、数量を測った結果ではなく識別のために割り振った数字です。先頭の数字には設計上の制約があり、ベンフォードの法則を期待できません。また、身長のように値が狭い範囲に集中するデータ、価格が特定の数字で終わるように設定されたデータ、最低額・最高額が厳格に決められたデータも不向きです。サイコロの目のように各数字が同じ確率で出る仕組みも、もちろん別の分布に従います。
不正検出に使えるの？
会計監査などでは、数字の分布が期待から大きく外れていないかを確認する補助的な分析に利用されます。ただし、分布がベンフォードの法則から外れたからといって、不正があったと断定することはできません。取引金額の下限、価格設定、業種の特性、データの抽出方法だけでも偏りは生じます。逆に、分布が近いからといって不正がない証明にもなりません。統計的な異常は追加調査の手がかりにすぎず、個別の証拠や業務背景の確認が不可欠です。
自分で確かめる方法
公開されている数値データを用意し、0や負数をどう扱うかを決め、各値の先頭有効数字を取り出して1〜9の件数を数えます。先頭数字がdの観測割合をq_d、理論値をp_dとすれば、差の大きさを比較できます。例えば平均絶対偏差MADは
$$\mathrm{MAD}=\frac{1}{9}\sum_{d=1}^{9}|q_d-p_d|$$
と書けます。ただし、標本数が小さいと偶然の揺らぎが大きく、指標だけで適合・不適合を決めるのは危険です。まずは棒グラフで観測値と理論値を重ね、データの収集条件を確かめましょう。単位を変えても同じ？
ベンフォードの法則には、単位の倍率を変えても分布が保たれるという「尺度不変性」と深い関係があります。たとえばメートルからセンチメートルへの変換は値を100倍するだけなので、先頭有効数字そのものは変わりません。一般の倍率では各データの先頭数字は変わり得ますが、理想的なベンフォード分布は全体として同じ形を保ちます。ただし、現実の有限なデータ集合があらゆる倍率で完全に同じ分布になるという意味ではありません。
まとめ
ベンフォードの法則は、先頭の数字が一様に現れるとは限らないことを教えてくれます。背景には、数値の大きさそのものではなく、その対数の分布を考えるという発想があります。約30％が1で始まり、9で始まる割合は約5％。この偏りは奇妙な偶然ではなく、条件がそろえば数式から導ける現象です。一方、識別番号や範囲の狭い測定値などには安易に適用できません。数字を疑う前に、その数字がどのように生まれたのかを考えることこそ、統計を正しく使う第一歩です。
参考文献
- Frank Benford (1938), “The Law of Anomalous Numbers”, Proceedings of the American Philosophical Society, 78(4), 551–572.
- Theodore P. Hill (1995), “A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law”, Statistical Science, 10(4), 354–363.
- Arno Berger and Theodore P. Hill (2015), An Introduction to Benford’s Law, Princeton University Press.
コメント