──ヒルベルトの第6問題と「時間はなぜ戻らないのか」という謎──
はじめに──1900年に投げかけられた挑戦状
1900年、パリで開催された国際数学者会議で、ドイツの天才数学者ダフィット・ヒルベルトが壇上に立ちました。彼が発表したのは「20世紀の数学者たちへの挑戦状」とも言うべき23の未解決問題。その中の一つが、「物理学を数学で完全に証明せよ」という途方もない課題でした。
それから125年。2025年3月、アメリカのシカゴ大学とミシガン大学の研究チームが、この「ヒルベルトの第6問題」に解答を示す論文を発表しました。まだ専門家による最終確認（査読）の段階ではありますが、世界中の科学者が固唾を呑んで見守っています。
この記事では、そもそもこの問題が何を問うているのか、なぜ125年も解けなかったのか、そして今回の発見がなぜ「時間はなぜ戻らないのか」という人類の古い謎とつながるのかを、できるだけわかりやすく解説します。
「あたりまえ」の物理法則を、誰もちゃんと証明していなかった
「物理法則は数学で書ける」と聞くと、「そんなの当然では？」と思う方も多いでしょう。確かに、物理学の教科書にはたくさんの数式が並んでいます。でもヒルベルトが問題にしたのは、もっと根本的なことでした。
物理の世界には、「スケール」によって異なるルールが存在します。たとえば、目に見えないほど小さな粒子（分子・原子）の動きを記述するルール、それが集まって気体になったときの統計的なふるまいを記述するルール、さらにそれが水や空気のような「流体」として大量に動くときのルール──これらはそれぞれ別の方程式で表されています。
問題は、「これらのルールが本当につながっているのか、数学的に証明できるか？」という点です。直感的には「小さなスケールのルールが積み重なって大きなスケールのルールになるはずだ」とわかります。でも「なんとなくそうなるはず」と「数学的に厳密に証明できる」の間には、途方もない距離があるのです。
ヒルベルトが求めたのは後者でした。「ちゃんと証明してみせよ」という、数学者らしい厳しい要求です。
3つのスケール、3つのルール──なにが難しいのか
少し具体的に見てみましょう。物理の世界には大きく分けて、3つのスケールがあります。
まず「ミクロ（極小）」のスケール。ここでは分子や原子が飛び回り、互いにぶつかり合っています。このスケールのルールはニュートンが作った古典力学で、「ある粒子がある向きに動いていれば、時間を巻き戻してもその法則は成り立つ」という特徴があります。つまり、ミクロの世界は「時間を逆にしても同じように動く」のです。
次に「メゾ（中間）」のスケール。膨大な数の粒子が集まったとき、一個一個を追うのは不可能なので、「全体として粒子がどう分布しているか」を統計的に記述します。これを表すのが「ボルツマン方程式」と呼ばれる式です。19世紀の物理学者ルートヴィヒ・ボルツマンが考え出したこの方程式は、気体がどのように広がり、熱が均一に分布していくかを記述します。
そして「マクロ（巨大）」のスケール。水や空気のような「流体」の動きを記述するのが「ナビエ・ストークス方程式」や「オイラー方程式」です。台風の動き、飛行機の翼の周りの気流、海の波──これらはすべてこの方程式で記述されます。
この3つのスケールは、それぞれ別々に発展してきた「異なる言語」です。ヒルベルトが求めたのは、「ミクロのニュートン力学という言語から出発して、メゾのボルツマン方程式を経由し、マクロの流体力学の言語に至るまでの完全な翻訳作業を、一切の見落としなく証明せよ」ということでした。
125年間の格闘──なぜそれほど難しかったのか
この問題に挑んだ数学者・物理学者は数えきれないほどいます。部分的な進展もありました。たとえば、「非常に短い時間の間なら、ミクロの法則からメゾの方程式を導くことができる」という証明は、20世紀を通じてじわじわと進みました。
しかし「短い時間の間だけ成立する」という証明では不十分です。現実の物理現象は、時間が経っても成立し続けます。「任意の長さの時間にわたって証明できるか」というのが、ずっと壁として立ちはだかっていました。
もう一つの難しさが、「どんな条件の下で成り立つのか」という問題です。数学の証明は、条件が少しでも違えばまったく別の話になります。現実の物理系に適用できるほど一般的な条件で証明できるかどうか、これも大きな課題でした。
さらに根深い問題がありました。それが「時間の矢」と呼ばれる謎です。ミクロのルールでは時間を逆にしても法則が成り立つのに、マクロの世界では時間は一方向にしか進みません。コーヒーにミルクを入れたら混ざっていきますが、混ざったコーヒーが自然に分離してブラックコーヒーに戻ることはない。この「なぜ時間は戻らないのか」という問いに、ミクロの法則から出発してどうやって答えるのか──これが「スケールの橋渡し」問題の核心にある、最も難しい部分でした。
2025年の突破口──何を、どうやって証明したのか
2025年3月、シカゴ大学とミシガン大学の研究者チーム（Yu Deng、Zaher Hani、Xiao Ma）が発表した論文は、この難問に正面から取り組みました。
彼らのアプローチは2段階です。
まず第1段階。「たくさんの小さな硬い球がぶつかり合う系」をモデルとして、そこから粒子全体の統計的なふるまいを記述するボルツマン方程式を導き出しました。ポイントは「任意の長時間にわたって」この導出が成立することを示した点です。従来の研究が「短い時間だけ」の証明にとどまっていたのに対し、今回は時間の制限を取り払うことに成功しました。
次に第2段階。そのボルツマン方程式から、さらに流体力学の方程式（オイラー方程式・ナビエ・ストークス方程式）を導き出しました。これにより、ミクロ→メゾ→マクロという3段階の「橋渡し」が、数学的に一本の道としてつながったのです。
カギとなったのは「周期的トーラス上での粒子系」という数学的な設定と、それを扱うために彼らが新たに開発した手法です。「トーラス」というのは、ドーナツのような形の空間のことで、境界がないため、粒子が空間の端に到達したら反対側から戻ってくるというイメージです。この設定を使うことで、従来の手法では扱いきれなかった「長時間の証明」が可能になりました。さらに、この手法は2次元でも3次元でも有効であることが確認されています。
「時間はなぜ戻らないのか」──哲学的な謎への答え
今回の研究が特に注目されているのは、純粋な数学の証明にとどまらず、「時間の矢」という物理学・哲学の深い謎にも光を当てているからです。
改めて問いを整理しましょう。ミクロの世界では、粒子の動きは「時間を逆にしても成立する」という性質を持っています。ビリヤードの球がぶつかる映像を逆再生しても、物理的におかしくは見えません。
ところがマクロの世界では、時間を逆にすると明らかにおかしくなります。割れたコップは自然に元に戻らない。散らかった部屋は放置しても片づかない。煙は拡散するが、自然に集まることはない。この「不可逆性」は「エントロピーの増大」と呼ばれ、熱力学の基本法則として知られています。
しかし不思議なことに、「すべての粒子がミクロのルールに従っている」はずなのに、なぜ集まるとマクロでは時間が一方向にしか進まないのでしょうか。これが「時間の矢の起源」という謎です。
今回の研究は、この謎への一つの数学的な答えを示しました。ミクロの時間可逆な法則から出発し、ボルツマン方程式という「中間の橋」を渡ることで、マクロの時間非可逆な世界が自然に生まれてくることを数式の論理として示したのです。
「なぜ時間は戻らないのか」という問いは、哲学的・直感的にはずっと答えがある気がしていました。しかし「数学的に、厳密に」説明できるかどうかは、まったく別の問題です。今回の研究は、その説明に向けた大きな一歩と言えます。
慎重な声もある──「解けた」と断言できない理由
「125年ぶりの解決！」と大々的に報じたくなるところですが、科学の世界ではそう簡単ではありません。
今回の論文は「プレプリント」と呼ばれる段階のものです。これは、専門家による本格的な検証（査読）を経る前の、いわば「草稿の公開」にあたります。数学の証明は非常に複雑なため、発表から査読完了まで数ヶ月から数年かかることも珍しくありません。
専門家の間からは、いくつかの慎重な意見も出ています。一つは「証明の厳密さの検証」です。高度な数学的手法を用いた長い証明には、見落とされやすい小さなギャップが潜んでいることがあります。世界中の数学者がこの論文を精査している最中です。
もう一つは「一般化の問題」です。今回の証明は「周期的トーラス」という特殊な設定の下で行われました。これが実際の宇宙空間や現実の流体にそのまま適用できるかどうかは、さらなる研究が必要です。
ただし、これらは証明を「無効にする」指摘ではなく、「さらに確認・拡張が必要」という前向きな課題です。数学者コミュニティの反応は総じて非常に好意的で、「これは本物の突破口だ」という声が多く聞かれます。
この研究が開く、次の扉
仮にこの証明が正式に認められた場合、どんな影響があるでしょうか。
まず、純粋数学の世界では、「ナビエ・ストークス方程式の解の存在と滑らかさ」という別の未解決問題への応用が期待されています。これは「ミレニアム懸賞問題」と呼ばれる7つの超難問の一つで、解決者には100万ドルの賞金が与えられます。今回の研究が、その足がかりになるかもしれません。
物理学の世界では、「量子力学と古典力学の橋渡し」への応用が考えられます。ミクロの世界を支配する量子力学とマクロの世界を支配する古典力学の間にも、「スケールの橋渡し」問題が存在します。今回開発された手法が、この問題にも光を当てる可能性があります。
さらに壮大な話をすれば、「時間の矢」の起源を数学的に理解することは、宇宙の始まり（ビッグバン）と終わり（熱的死）をつなぐ物語の記述にも関わります。なぜ宇宙は「低エントロピー」の状態から始まり、エントロピーが増大する方向に進んでいるのか──この宇宙論的な問いにも、今回の研究は間接的につながっています。
おわりに──125年前の「挑戦状」に、ようやく返事が届いた
1900年、ヒルベルトは「物理学を数学で完全に証明せよ」という課題を投げかけました。それは単なる技術的な課題ではなく、「自然界のルールは、本当に数学の論理で隙間なく記述できるのか」という、科学の根本への問いかけでした。
125年という時間は、人間の一生をはるかに超えます。何世代もの数学者・物理学者がこの問題に取り組み、少しずつ道を切り開いてきました。今回の研究は、その長い積み重ねの上に立っています。
数式が一切わからなくても、この研究の意味は伝わるはずです。「なぜコーヒーとミルクは混ざるのに分離しないのか」「なぜ時間は戻らないのか」──そんな日常の素朴な疑問が、実は数学の最前線とつながっている。それがこの研究の、最も面白いところではないでしょうか。
査読の結果が出るのはまだ先のことですが、世界中の科学者がその日を待ち望んでいます。
参考論文：Yu Deng, Zaher Hani, Xiao Ma “Hilbert’s sixth problem: derivation of fluid equations via Boltzmann’s kinetic theory” (2025) arxiv.org/abs/2503.01800
