超弦理論とは？11次元世界で重力と量子を統一する理論

超弦理論とは？
超弦理論の歴史的発展
超弦理論の基本概念
- 超対称性と「超」弦理論
超弦理論の数学的枠組み
コンパクト化と余剰次元
ブレーンワールドシナリオ
Dブレーンと開いた弦の物理
AdS/CFT対応の詳説
超弦理論の課題と批判
未来への展望
結論：万物の理論への一歩

超弦理論とは？

超弦理論（Superstring Theory）とは、現代物理学において最も野心的かつ革新的な理論の一つです。この理論は、素粒子を従来の「点粒子」ではなく、「1次元の弦（ひも）」として扱うことで、宇宙を構成するすべての基本相互作用を統一的に説明しようと試みます。具体的には、電磁気力、弱い相互作用、強い相互作用、そして重力という4つの基本相互作用を一つの枠組みで記述できる可能性を秘めており、「万物の理論（Theory of Everything, TOE）」の最有力候補として注目されています。この文章では、超弦理論の基本概念からその数学的枠組み、物理的意義、そして未来への展望までを詳しく解説いたします。

超弦理論が生まれた背景

現在の物理学において、素粒子の振る舞いは「標準模型（Standard Model）」と呼ばれる理論によって説明されています。この標準模型は、電磁気力、弱い相互作用、強い相互作用の3つの力を統一的に扱うことに成功しています。素粒子は「点」として記述され、量子力学の枠組みの中でその性質が研究されてきました。しかし、この標準模型には大きな限界があります。それは、重力を説明に含めることができない点です。

重力は、アインシュタインの一般相対性理論によって「時空の幾何学的な歪み」として記述されます。この理論は、惑星の運動やブラックホールの存在を正確に予測するなど、大きな成功を収めてきました。しかし、一般相対性理論は古典的な理論であり、量子力学の原理と統合することが非常に困難です。量子力学では、素粒子の振る舞いを確率的に扱い、不確定性原理が重要な役割を果たしますが、一般相対性理論ではそのような概念が考慮されていません。このため、重力を量子化しようとすると、計算上無限大の発散が生じ、理論として一貫性を保つことができないのです。

超弦理論は、この「量子重力」の問題を解決し、すべての基本相互作用を統一する理論を構築するために生まれました。弦という新しい視点を取り入れることで、従来の物理学の枠組みを超えた可能性が開かれたのです。

超弦理論の歴史的発展

超弦理論の歴史は、予想外の発見と理論的飛躍に満ちています。この理論の起源は1960年代後半に遡ります。

ヴェネツィアーノ振幅の発見（1968年）

イタリアの物理学者ガブリエーレ・ヴェネツィアーノは、強い相互作用における粒子の散乱を記述する数学的な公式を発見しました。この「ヴェネツィアーノ振幅」は、当初は経験的な公式として提案されましたが、後に弦の振動を記述する理論から自然に導かれることが判明しました。これが弦理論の実質的な始まりとなります。

ボソニック弦理論の確立（1970年代）

1970年代には、弦理論の数学的基礎が整備されました。しかし、初期の「ボソニック弦理論」には重大な問題がありました。この理論は26次元の時空を必要とし、さらにタキオン（負の質量二乗を持つ不安定な粒子）が現れるという欠点がありました。また、フェルミオン（物質を構成する粒子）を含まないため、現実の素粒子物理学を記述することができませんでした。

超対称性の導入と超弦理論の誕生（1970年代後半）

これらの問題を解決するため、研究者たちは「超対称性」を弦理論に組み込みました。超対称性を持つ弦理論では、時空の次元が10次元に減少し、タキオンも消滅します。さらに重要なことに、フェルミオンとボソンの両方を自然に含むことができるようになりました。こうして「超弦理論」が誕生したのです。

第一次超弦革命（1984-1985年）

1984年、マイケル・グリーンとジョン・シュワルツは、超弦理論の「アノマリー」（理論の一貫性を破壊する数学的な問題）が特定のゲージ群（SO(32)またはE8×E8）を持つ場合に相殺されることを発見しました。この発見により、超弦理論が物理的に一貫性のある量子重力理論であることが証明され、世界中の物理学者が超弦理論の研究に参入する「第一次超弦革命」が始まりました。

この時期に、5つの異なるバージョンの超弦理論（タイプI、タイプIIA、タイプIIB、ヘテロティックSO(32)、ヘテロティックE8×E8）が確立されました。しかし、なぜ5つもの異なる理論が存在するのかは謎のままでした。

第二次超弦革命とM理論（1990年代）

1995年、エドワード・ウィッテンは画期的な発見を発表しました。5つの超弦理論は実は同一の理論の異なる極限であり、それらは11次元の「M理論」と呼ばれるより基本的な理論に統一されるというのです。この発見は「第二次超弦革命」と呼ばれ、弦理論の理解を大きく深めました。

この時期に、T-デュアリティやS-デュアリティといった対称性が発見され、異なる理論同士の関係が明らかになりました。また、Dブレーン（弦の端点が付着できる高次元物体）の重要性が認識され、理論の構造がより豊かになりました。

21世紀の発展

1997年、フアン・マルダセナは「AdS/CFT対応」と呼ばれる驚くべき予想を提唱しました。これは、ある種の重力理論が、より低次元のゲージ理論と等価であるという主張です。この発見は、超弦理論の応用範囲を大きく広げ、強結合ゲージ理論や凝縮系物理学への応用を可能にしました。

現在、超弦理論は依然として発展を続けており、宇宙論、ブラックホール物理学、量子情報理論など、多岐にわたる分野で重要な役割を果たしています。

超弦理論の基本概念

超弦理論の核心は、素粒子を「点」ではなく「1次元の弦」として捉える点にあります。この弦は非常に小さく、その長さはプランク長（約10⁻³⁵メートル）程度とされています。弦には「開いた弦」と「閉じた弦」の2種類があり、それぞれが異なる振動モードを持つことで、さまざまな素粒子を生み出します。

たとえば、弦がある特定の振動モードをとると電子として現れ、別のモードでは光子やニュートリノ、そしてまた別のモードでは重力子（graviton）として現れます。このように、超弦理論では、素粒子の種類や性質が弦の振動パターンによって決まると考えられています。これにより、すべての素粒子を統一的に説明する枠組みが提供されるのです。

数学的には、弦の運動は「弦の座標」によって記述されます。具体的には、弦のパラメータ化された座標

$X^\mu(\sigma, \tau)$

を用いて表されます。ここで、

$\sigma$

は弦の空間的な位置を示すパラメータであり、

$\tau$

は時間的な発展を表します。弦の振動は、2次元の「世界面（worldsheet）」と呼ばれる時空上で起こり、その運動は「Polyakov作用」と呼ばれる式で定式化されます。この作用は次のように表されます。

$S = - \frac{T}{2} \int d σ d τ \sqrt{- h} h^{a b} \partial_{a} X^{μ} \partial_{b} X_{μ}$

ここで、

$T$

は弦の張力（string tension）、

$h_{ab}$

は世界面のメトリック（時空の構造を表す量）、

$X^\mu$

はD次元の時空における弦の座標を意味します。この作用を変分することで、弦の運動方程式と境界条件が導かれ、特定の振動モードが素粒子として現れる仕組みが明らかになります。

$S = -\frac{T}{2} \int d\sigma d\tau \sqrt{-h} h^{ab} \partial_a X^\mu \partial_b X_\mu$

超対称性と「超」弦理論

超弦理論には、もう一つの重要な要素である「超対称性（Supersymmetry, SUSY）」が含まれています。超対称性とは、物質を構成するフェルミオン（電子やクォークなど）と、力を伝えるボソン（光子やグルーオンなど）の間に数学的な対称性が存在するという仮説です。この対称性を取り入れることで、理論の安定性や一貫性が向上し、物理的な予測がより自然な形になります。

超対称性を弦理論に組み込んだものが「超弦理論（Superstring Theory）」であり、これが現在の標準的な形です。超弦理論には、以下の5つの異なるバージョンが存在します。それぞれが10次元の時空で定義され、独自の特徴を持っています。

タイプI超弦理論
10次元の時空で定義され、開いた弦と閉じた弦の両方を含みます。ゲージ対称性としてSO(32)を持ちます。方向性のないディリクレ9ブレーンを含みます。
タイプIIA超弦理論
10次元の時空で定義され、閉じた弦のみを含みます。非キラルな性質が特徴です。偶数次元のDブレーンを含みます。
タイプIIB超弦理論
10次元の時空で定義され、閉じた弦のみを持ちます。キラルな性質を持ち、自己双対性が特徴です。奇数次元のDブレーンを含みます。
ヘテロティックSO(32)超弦理論
10次元の時空で定義され、左右で異なる振動モードを持つ閉じた弦を含みます。ゲージ群としてSO(32)を持ちます。
ヘテロティックE8×E8超弦理論
10次元の時空で定義され、ゲージ群として2つのE8を持ちます。現実的な素粒子物理学への応用で最も有望視されています。

理論	次元	特徴
タイプI	10次元	開いた弦と閉じた弦の両方を含む
タイプIIA	10次元	非キラル、偶数次元Dブレーン
タイプIIB	10次元	キラル、奇数次元Dブレーン
ヘテロSO(32)	10次元	左右非対称、SO(32)ゲージ群
ヘテロE8×E8	10次元	左右非対称、E8×E8ゲージ群

これら5つの理論は一見異なるように見えますが、実は「M理論」と呼ばれる11次元の理論に統一されると考えられています。この点については後ほど詳しく説明いたします。

超弦理論の数学的枠組み

弦の量子化と共形場理論

超弦理論を現実の物理学に適用するには、弦を量子化する必要があります。この量子化には、通常の場の量子論を一般化した「共形場理論（Conformal Field Theory, CFT）」が用いられます。共形場理論は、弦が動く2次元の世界面において「共形対称性」と呼ばれる特別な対称性を持つ理論です。この対称性により、弦の振動モードが特定の形に制約され、物理的に一貫性のある結果が得られます。

共形対称性とは、角度を保つ変換（等角変換）に対する不変性のことです。2次元の世界面では、この対称性が無限次元のリー代数（ヴィラソロ代数）によって記述され、非常に豊かな数学的構造を持ちます。

特に、超弦理論が一貫性を保つためには、超対称性が不可欠であり、さらに時空の次元が10次元であることが要請されます。この10次元という条件は、理論の数学的な整合性から導かれるものであり、後のコンパクト化の議論につながります。具体的には、共形アノマリー（共形対称性を破壊する量子効果）が消滅するためには、臨界次元が10次元でなければならないのです。

T-デュアリティとS-デュアリティ

超弦理論には、異なる理論同士をつなぐ重要な対称性が存在します。その代表例が「T-デュアリティ」と「S-デュアリティ」です。

T-デュアリティ（T-Duality）

空間がコンパクト化（たとえば小さな円状に丸まっている）された場合、ある半径Rの理論が、半径α′/Rの理論と等価になるという性質です。ここで、α′は弦の長さスケールを表す定数です。

この対称性は非常に深い物理的意味を持ちます。たとえば、弦が小さな円状に巻きついた空間を運動する場合、その運動には2つのモードがあります。一つは円周方向に沿って伝播する「運動量モード」、もう一つは円に巻きついた回数に対応する「巻きつきモード」です。T-デュアリティは、これら2つのモードを交換する対称性として理解できます。

興味深いことに、T-デュアリティによってタイプIIA理論とタイプIIB理論が互いに関連付けられ、また2つのヘテロティック理論も関連付けられます。

S-デュアリティ（S-Duality）

強結合（相互作用が強い状態）と弱結合（相互作用が弱い状態）の間に双対性が存在する性質です。具体的には、結合定数gが強い理論が、結合定数1/gを持つ別の理論と等価になります。

たとえば、タイプIIB超弦理論は、強い結合と弱い結合の間で自己双対になります。また、タイプI理論はヘテロティックSO(32)理論と強弱双対の関係にあります。

S-デュアリティは、摂動論（弱結合で有効な計算手法）では扱えない強結合領域の物理を理解する上で極めて重要です。この対称性により、ある理論の強結合領域を、別の理論の弱結合領域として記述できるようになります。

これらの双対性を考慮すると、5つの超弦理論が実は同一の理論の異なる側面であることがわかります。この統一的な視点が、M理論の概念へとつながるのです。

M理論への道

M理論は、11次元の時空を基盤とする理論であり、5つの超弦理論を包含する「究極の統一理論」とされています。1995年にエドワード・ウィッテンによって提唱されたこの理論は、超弦理論の双対性や超重力理論との関係から導かれました。

M理論の基本構造

M理論では、弦だけでなく「膜（brane）」と呼ばれる高次元の物体が重要な役割を果たします。たとえば、2次元の膜は「2ブレーン」、5次元の膜は「5ブレーン」と呼ばれ、これらが時空の構造や相互作用を決定します。

11次元のM理論から10次元の超弦理論を得るには、11番目の次元を円状にコンパクト化します。この円の半径を変えることで、異なる超弦理論が現れます。

円の半径が大きい極限では、タイプIIA超弦理論が現れます
円の半径をゼロにすると、E8×E8ヘテロティック理論が現れます
他の超弦理論も、適切な双対性変換を通じてM理論から導出できます

M理論の「M」の意味

ウィッテン自身は、「M」の意味を明確には定義していません。「膜（Membrane）」、「母（Mother）」、「神秘（Mystery）」、「魔法（Magic）」など、さまざまな解釈が提案されています。この曖昧さは、M理論がまだ完全には定式化されていないことを反映しています。

M理論の低エネルギー極限

M理論の低エネルギー極限は、11次元超重力理論として記述されます。この理論は1970年代に発見されていましたが、当時は10次元の超弦理論との関係が理解されていませんでした。M理論の提唱により、この理論が超弦理論のネットワークの中で重要な位置を占めることが明らかになったのです。

M理論の具体的な形はまだ完全には解明されていませんが、超弦理論の枠組みを超えた新たな物理学の可能性を示唆しています。

コンパクト化と余剰次元

超弦理論やM理論が要求する10次元や11次元の時空は、私たちが日常的に経験する4次元時空（空間3次元+時間1次元）とは大きく異なります。この矛盾を解決するために導入されるのが「コンパクト化」という概念です。

コンパクト化の基本アイデア

コンパクト化とは、余剰次元（4次元を超える次元）が非常に小さく巻き上がっており、通常のスケールでは観測できないという考え方です。これはテオドール・カルーツァとオスカー・クラインによって1920年代に提案された古典的なアイデアですが、超弦理論においては非常に豊かな構造を持ちます。

最も単純な例として、1次元の円周上へのコンパクト化を考えてみましょう。もし1つの空間次元が半径

$R$

の円状に巻き上がっているとすると、その方向の運動量は量子化され、

$p = n/R$

（

$n$

は整数）という離散的な値しかとれません。この量子化された運動量は、4次元時空から見ると「質量」として現れます。

カラビ・ヤウ多様体

超弦理論のコンパクト化において最も重要な役割を果たすのが「カラビ・ヤウ多様体」と呼ばれる特殊な6次元空間です。この空間は、以下の重要な性質を持ちます。

リッチ平坦性: アインシュタイン方程式の真空解として許される幾何学的構造を持つ
SU(3)ホロノミー: 超対称性を保持するために必要な条件を満たす
複素構造: 3つの複素次元を持つ複素多様体として記述できる

カラビ・ヤウ多様体の具体的な形状によって、コンパクト化後の4次元理論の性質が決まります。たとえば、多様体の「ホッジ数」と呼ばれる位相的不変量が、4次元理論における粒子の世代数や質量パラメータを決定します。

モジュライ空間

カラビ・ヤウ多様体は一意ではなく、膨大な数の可能性があります。さらに、各カラビ・ヤウ多様体には連続的に変形できる「モジュライ」と呼ばれるパラメータが存在します。これらのパラメータの空間を「モジュライ空間」と呼びます。

モジュライには大きく分けて2種類あります。

複素構造モジュライ: 多様体の形状を変える変形
ケーラー構造モジュライ: 多様体のサイズを変える変形

これらのモジュライは、4次元理論では「スカラー場」として現れ、その真空期待値が物理定数を決定します。しかし、どのモジュライの値が選ばれるかを決める原理（モジュライ安定化問題）は、超弦理論の大きな課題の一つです。

フラックスコンパクト化

近年、モジュライ安定化の有力な手法として「フラックスコンパクト化」が研究されています。これは、コンパクト化された空間にゲージ場や反対称テンソル場の「フラックス」（電磁場でいう磁場のようなもの）を導入する手法です。

フラックスの存在により、モジュライにポテンシャルエネルギーが生じ、特定の値に安定化されます。この手法により、現実的な宇宙論的定数（ダークエネルギーに関連）を持つ4次元理論を構築する可能性が開かれました。

ブレーンワールドシナリオ

もう一つの重要な発展が「ブレーンワールド」という概念です。これは、私たちの4次元宇宙が、より高次元の空間に埋め込まれた「ブレーン」上に存在するという考え方です。

標準模型の粒子はブレーン上に束縛されており、3つの空間次元に沿ってのみ運動できます。一方、重力は高次元空間全体を伝播できるため、弱い力として現れます。このシナリオは、なぜ重力が他の力に比べて極端に弱いのかという「階層性問題」を解決する可能性を提供します。

Dブレーンと開いた弦の物理

Dブレーンの定義

Dブレーン（D-brane）は、開いた弦の端点が付着できる高次元の物体です。「D」は「ディリクレ境界条件」に由来し、弦の端点がDブレーン上に固定されることを意味します。

p次元のDブレーンを「Dpブレーン」と呼びます。たとえば、D0ブレーンは点状の物体、D1ブレーンは弦状の物体、D2ブレーンは膜状の物体です。Dpブレーンはp次元の空間的広がりを持ち、時間を含めると(p+1)次元の時空を形成します。

Dブレーン上のゲージ理論

Dブレーンの最も重要な性質の一つは、その上に「ゲージ場」が存在することです。開いた弦の両端がDブレーン上に付着している場合、その弦の振動モードはゲージ粒子（光子やグルーオンのような力を伝える粒子）として現れます。

N枚のDブレーンが重なっている場合、開いた弦の端点はN通りの選択肢を持ちます。この自由度が、U(N)ゲージ群を生み出します。これにより、超弦理論の枠組みの中で、自然にゲージ理論が現れることが理解されました。

BPS状態とDブレーンの安定性

Dブレーンは「BPS状態」と呼ばれる特別な状態です。BPS状態とは、超対称性の一部を保持する状態であり、量子補正を受けにくいという重要な性質を持ちます。

Dブレーンの質量は、その体積と弦の張力から決まります。たとえば、Dpブレーンの質量は次のように表されます。

$M_{Dp} = T_p \times V_p$

ここで、

$T_p$

はDpブレーンの張力、

$V_p$

はその体積です。BPS性により、この質量公式は量子補正を受けず、正確に成立します。

非可換幾何学への応用

多数のDブレーンが存在する場合、開いた弦の座標が非可換になる（座標の掛け算の順序が結果に影響する）ことが発見されました。これは「非可換幾何学」と呼ばれる新しい数学的枠組みを物理学に導入するきっかけとなりました。

非可換幾何学では、通常の座標

$x$

と

$y$

が次のような交換関係を満たします。

$[x, y] = i\theta$

ここで、

$\theta$

は非可換性のパラメータです。この構造は、量子ホール効果や弦理論的宇宙論など、さまざまな物理現象に応用されています。

AdS/CFT対応の詳説

ホログラフィー原理の具体例

AdS/CFT対応（Anti-de Sitter / Conformal Field Theory対応）は、1997年にフアン・マルダセナによって提唱された、超弦理論における最も重要な発見の一つです。この対応は、ホログラフィー原理の具体的な実現例として理解されています。

ホログラフィー原理とは、d次元の重力理論が、その境界となる(d-1)次元の重力を含まない理論と等価であるという主張です。これは、ブラックホールの情報問題から示唆された原理であり、時空の情報がその境界に符号化されているという驚くべき性質を表しています。

マルダセナ予想の内容

AdS/CFT対応の最も基本的な例は、以下の等価性です。

5次元のAdS空間上のタイプIIB超弦理論 = 4次元のN=4超ヤン・ミルズ理論

この等価性は、AdS/CFT対応の核心です。左辺は重力（弦理論を含む）を記述する高次元理論、右辺は重力を含まないゲージ理論です。この対応により、重力の量子効果を、境界理論の計算で間接的に探求できるようになりました。例えば、AdS空間内のブラックホールのエントロピーは、境界理論の場の熱力学量として計算可能です。

AdS/CFT対応の物理的意義

AdS/CFT対応の最大の魅力は、理論の「双方向性」にあります。重力側から境界理論を計算するのも、境界理論から重力側を計算するのも等価です。これにより、従来の摂動論では扱えない強結合領域の物理を、弱結合領域の近似で解明できます。

具体的な応用例として、以下のものが挙げられます：

ブラックホール物理学: AdS空間内のブラックホールの情報パラドックスを、境界理論の量子もつれで説明。ホーキング放射のメカニズムが、境界のエンタングルメントエントロピーとして理解されます。

凝縮系物理学: 高温超伝導体やグラフェンのような強結合系を、AdS/CFTでモデル化。

粘性/エントロピー比

$\eta/s = 1/4\pi$

のような普遍的な定数が、実験と一致する予測を与えます。

量子情報理論: 量子もつれと時空の幾何学の関係を明らかに。たとえば、相互情報量がAdS空間の最小表面面積に対応するという「Ryu-Takayanagi公式」は、量子重力の新たな洞察を提供します。

宇宙論: 初期宇宙のインフレーションやダークエネルギーを、AdS/CFTの枠組みで探求。マルチバースの存在を、異なる境界理論の多様性として解釈する試みもあります。

AdS/CFT対応は、超弦理論を純粋な数学的枠組みから、現実の物理現象に応用可能なツールへと昇華させました。ただし、完全な証明は未だにされていませんが、数値シミュレーションや部分的な導出により、その有効性が確認されています。

超弦理論の課題と批判

超弦理論は革新的ですが、いくつかの課題を抱えています。

実験的検証の難しさ: 弦のスケールがプランク長（10⁻³⁵ m）と極小のため、LHC（大型ハドロン衝突型加速器）のような実験で直接検出できません。間接的な証拠として、余剰次元の影響によるカシミール効果の修正や、宇宙マイクロ波背景放射の異常が提案されますが、決定的ではありません。
ランドスケープ問題: カラビ・ヤウ多様体の数は10⁵⁰⁰以上と膨大で、各々が異なる4次元物理を予言します。この「弦ランドスケープ」から、なぜ私たちの宇宙がこのような定数（微調整されたヒッグス質量や宇宙定数）を持つのかを説明する「人為的原理」が議論されますが、批判も強いです。
非摂動的定義の不在: M理論の完全な定式化が未だに不明瞭。AdS/CFTは特定の背景で有効ですが、一般的な時空への拡張が課題です。

これらの批判に対し、超弦理論の擁護者は、その数学的美しさと統一性を強調します。たとえば、標準模型の階層問題やニュートリノ質量の自然な説明が、弦理論の枠組みで可能になる点です。

未来への展望

超弦理論は、21世紀の物理学を形作る鍵となるでしょう。量子コンピュータの進化により、AdS/CFTの数値シミュレーションが加速し、強結合系の謎を解く可能性があります。また、JWST（ジェームズ・ウェッブ宇宙望遠鏡）のような観測装置が、余剰次元の痕跡を探るでしょう。

さらに、超弦理論は数学との深い結びつきを持ち、非可換幾何学や鏡対称性といった新しい分野を生み出しています。将来的には、AIを活用したモジュライ安定化の探索が、TOEの実現を近づけるかもしれません。

結論：万物の理論への一歩

超弦理論は、点粒子の時代を終え、宇宙を振動する弦のシンフォニーとして描き出しました。重力と量子力学の統合、5つの理論の統一、ホログラフィックな宇宙観――これらは、物理学のフロンティアを広げ、私たちの宇宙理解を深めています。まだ多くの謎が残るものの、その探求は人類の知的好奇心を象徴します。超弦理論は、単なる理論ではなく、宇宙のハーモニーを聴くための楽器なのです。ご質問があれば、ぜひコメントをお寄せください！

（参考文献：
– Greene, B. (1999). The Elegant Universe.
– Polchinski, J. (1998). String Theory.
– Maldacena, J. (1998). “The Large N limit of superconformal field theories and supergravity.”）